A

连接$DE$，如图：

$\because$四边形$ABCD$为矩形，$\triangle ACE$为$AC$为底的等腰直角三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle AEC=\angle ADC=90^{\circ}$，$AB=CD$，$AD=BC$，
$\therefore$点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$都在以$AC$为直径的圆上，
$\because AB=CD$，
$\therefore \widehat {AB}=\widehat {CD}$，
$\therefore \angle AEB=\angle CED$，
$\because \widehat {DE}=\widehat {DE}$
$\therefore \angle EAF=\angle ECD$，
$\because \triangle ACE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=CE$，
在$\triangle AEF$和$\triangle CED$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CED}\\{AE=CE}\\{∠EAF=∠ECD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEF$≌$\triangle CED\left(ASA\right)$，
$\therefore AF=CD$，
而$CD=AB$，
$\therefore AB=AF$，
$\therefore \angle ABF=\angle AFB=45^{\circ}$，
$\therefore BE$平分$\angle ABC$，故①正确；
$\because \angle EMA=\angle BAM+45^{\circ}$，
而$\angle EAM=\angle MAC+45^{\circ}$，
$\because AM$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAM=\angle MAC$，
$\therefore \angle EMA=\angle EAM$，
$\therefore AE=EM$，故②正确；
$\because AE=EC$，
$\therefore EM=EC$，
$\therefore \angle EMC=\angle ECM$，即$\angle MBC+\angle MCB=\angle ECA+\angle ACM$，
$\because \angle MBC=45^{\circ}=\angle ECA$，
$\therefore \angle MCB=\angle ACM$，即$\angle BCM=\angle NCM$，故③正确；
$\because \widehat {AB}=\widehat {CD}$，
$\therefore \angle AEN=\angle NAF$，
$\because \angle ANF=\angle ENA$，
$\therefore \triangle ANF$∽$\triangle ENA$，
$\therefore \frac{AN}{NE}=\frac{NF}{AN}$，
$\therefore AN^{2}=NE\cdot NF$，故④正确；
将$\triangle ABN$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle AFG$，连接$EG$，如图：

$\because \angle NAB=\angle GAF$，
$\therefore \angle GAN=\angle BAD=90^{\circ}$，
$\because \angle EAN=45^{\circ}$，
$\therefore \angle EAG=\angle EAN=45^{\circ}$，
$\because AG=AN$，$AE=AE$，
$\therefore \triangle AEG$≌$\triangle AEN\left(SAS\right)$，
$\therefore EN=EG$，
$\because$将$\triangle ABN$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle AFG$，
$\therefore GF=BN$，$\angle AFG=\angle ABN=\angle AFB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle GFB=\angle GFE=90^{\circ}$，
$\therefore EG^{2}=GF^{2}+EF^{2}$，
$\therefore BN^{2}+EF^{2}=EN^{2}$，故⑤正确，
$\therefore$正确的有①②③④⑤，
故选：$A$.