D

在菱形$ABCD$中，$AB=BC$，
$\because \angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$为等边三角形，故①正确；
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，$\angle ABO=\angle CBO=30^{\circ}$，
$\therefore OB=\sqrt{3}OA$，故②正确；
$\because PM\bot AB$，$PN\bot AD$，
$\therefore \angle AMP=\angle ANP=90^{\circ}$，
$\because AD$∥$BC,\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN=60^{\circ}$，故③正确；
如图，延长$NP$交$BC$于点$G$，
$\because AD$∥$BC$，$PN\bot AD$，
$\therefore PG\bot BC$，
$\because PM\bot AB$，$BP$平分$\angle ABC$，
$\therefore PM=PG$，
$\therefore PM+PN=PG+PN=NG$，
$\because \angle PBG=\angle PDN=30^{\circ}$，
$\therefore PB=2PG$，$PD=2PN$，
$\therefore PM+PN=PG+PN=\frac{1}{2}PB+\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}\left(PB+PD\right)=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore PM+PN=\frac{1}{2}BD$，故④正确，
综上所述：正确的有$4$个.
故选：$D$.