阅读理解学习:
在学习《解直角三角形》这一章时,小迪同学勤学好问,在课外学习活动中,探究发现,三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系,下面是她的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任务.
【阅读材料】:在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边分别记为$a$,$b$,$c$,$\triangle ABC$的面积记为$S_{\triangle ABC}$,过点$A$作$AD\bot BC$,垂足为$D$,则
$\because \sin B=\frac{AD}{AB}$,
$\therefore AD=AB\cdot \sin B$.
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC•AD=\frac{1}{2}BC•AB•sinB=\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin B$.
同理可得:$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}b•c•sinA,{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin C$.
即:$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}b•c•sinA=\frac{1}{2}a•c•sinB=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin C\ldots \ldots$①.
由以上推理得结论①:三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半.
又$\because abc\neq 0$,将等式$\frac{1}{2}b•c•sinA=\frac{1}{2}a•c•sinB=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin C$两边同除以$\frac{1}{2}abc$得,
$\therefore \frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}\ldots \ldots$②.
由以上推理得结论②:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等.
【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题:
如图,甲船以$24\sqrt{3}$海里$/$时的速度向正北方向航行,当甲船位于$A$处时,乙船位于甲船的南偏西$75^{\circ}$方向的$B$处,且乙船从$B$处沿北偏东$15^{\circ}$方向匀速直线航行,当甲船航行$20$分钟到达$D$处时,乙船航行到甲船的南偏西$60^{\circ}$方向的$C$处,此时两船相距$8\sqrt{3}$海里.
$(1)$求$\triangle ADC$的面积；
$(2)$求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号).