B

取$BF$中点$J$，连接$BE$，$DJ$，$EJ$，

$\because$正方形$ABCD$的边长是$6$，
$\therefore AD=AB=6$，$\angle A=90^{\circ}$，
$\therefore BF=\frac{2}{3}AB=4$，
$\therefore$在$Rt\triangle DAJ$中，由勾股定理得$DJ=2\sqrt{13}$，
$\because BH$为$\odot O$直径，
$\therefore \angle BEH=\angle BEF=90^{\circ}$，
$\because$点$J$为$BF$中点，
$\therefore EJ=\frac{1}{2}BF=2$，
$\because DE+EJ≥DJ=2\sqrt{13}$，
$\therefore DE≥2\sqrt{13}-2$，
当$D$，$E$，$J$三点共线时取得最小值，
故选：$B$.