$\because |m-3|+\sqrt{n-4}=0$，
$\therefore m-3=0$且$n-4=0$，
则$m=3$，$n=4$，
当$4$是直角边时，斜边长$=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
当$4$是斜边时，另一条直角边$=\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{7}$，
综上，第三条边长为$5$或$\sqrt{7}$，
故答案为：$5$或$\sqrt{7}$.

$\because |m-3|+\sqrt{n-4}=0$，
$\therefore m-3=0$且$n-4=0$，
则$m=3$，$n=4$，
当$4$是直角边时，斜边长$=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
当$4$是斜边时，另一条直角边$=\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{7}$，
综上，第三条边长为$5$或$\sqrt{7}$，
故答案为：$5$或$\sqrt{7}$.