连接$CH$并延长交$AD$于$P$，连接$PE$，

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，$AD$∥$BC$，$AB=AD=BC=\sqrt{3}$，
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，
$\therefore AE=CF=\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DPH=\angle FCH$，
在$\triangle PDH$和$\triangle CFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPH=∠FCH}\\{∠DHP=∠FHC}\\{PH=FH}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PDH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore PD=CF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore AP=AD-PD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore PE=\sqrt{A{P}^{2}+A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$\because$点$G$，$H$分别是$EC$，$FD$的中点，
$\therefore GH=\frac{1}{2}EP=\frac{\sqrt{6}}{4}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$.

连接$CH$并延长交$AD$于$P$，连接$PE$，

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，$AD$∥$BC$，$AB=AD=BC=\sqrt{3}$，
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，
$\therefore AE=CF=\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DPH=\angle FCH$，
在$\triangle PDH$和$\triangle CFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPH=∠FCH}\\{∠DHP=∠FHC}\\{PH=FH}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PDH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore PD=CF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore AP=AD-PD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore PE=\sqrt{A{P}^{2}+A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$\because$点$G$，$H$分别是$EC$，$FD$的中点，
$\therefore GH=\frac{1}{2}EP=\frac{\sqrt{6}}{4}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$.