$\because$最小的四位数的千位数字为$1$，各个数位的数字均不为零，
$1+2=2+1$，
$\therefore$最小“有序等和数”为$1221$，
$\because M=1000a+200b+120c+d+2=1000a+100\left(2b+c\right)+10\times 2c+d+2$，$1\leqslant a\leqslant 9$，$1\leqslant 2b+c\leqslant 9$，$1\leqslant c$，$d\leqslant 4$，
$\therefore M$的千位数为$a$，百位数为$2b+c$，十位数为$2c$，个位数为$d+2$，
又$\because M$为“有序等和数”，
$\therefore a+2b+c=2c+d+2$，即$a+2b=c+d+2$，且$a\neq 2c$，
$\therefore s=10a+2c$，$t=10\left(2b+c\right)+\left(d+2\right)$，
$\therefore s+t=10a+2c+20b+10c+d+2=10a+20b+12c+d+2=9a+18b+9c+a+2b+3c+d+2$，
$\because s+r$被$9$整除余$2$，
$\therefore a+2b+3c+d$能被$9$整除，
又$\because a+2b+c=2c+d+2$，
$\therefore a+2b+3c+d=a+2b+c+2c+d=\left(2c+d+2\right)+2c+d=4c+2d+2$，
$\because 1\leqslant a\leqslant 9$，$1\leqslant 2b+c\leqslant 9$，$1\leqslant c$，$d\leqslant 4$，$4c+2d+2$能被$9$整除，
设$4c+2d+2=9k$，则$8\leqslant 4c+2d+2\leqslant 45$，
$\therefore 1 \lt k\leqslant 5$.
$d=\frac{9k-2-4c}{2}$，
$\because d\leqslant 4$，
设$Y=\frac{66}{F(M)}$，
①当$d=4$时，$4c+2d+2=10+4c$能被$9$整除，$c=2$，则$a\neq 4$，
$\therefore a+2b=c+d+2=8$，$-0.5\leqslant b\leqslant 35$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=0}\end{array}\right.$，
$F\left(M\right)=a^{2}+b-c^{2}-5$，
当$a=2$，$b=3$，$c=2$时，$F\left(M\right)=4+3-4-5=-2$，$Y$为整数，则$G\left(M\right)=\frac{a+b+c}{2c+d}=\frac{2+3+2}{2×2+4}=\frac{7}{8}$，
当$a=6$，$b=1$，$c-2$时，$F\left(M\right)=36+1-4-5=28$，$Y$不为整数，舍去，
当$a=8$，$b=0$，$c=2$时，$F\left(M\right)=64+0-4-5=55$，$Y$不为整数，舍去，
②当$d=3$时，$4c+2d+2=8+4c$能被$9$整除，$c=7$.
$\therefore a+2b=c+d+2=11$，$-3\leqslant b\leqslant 1$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=1}\end{array}\right.$，$9-1+3$
$\therefore F\left(M\right)=a^{2}+b-c^{2}-5$，
当$a=9$，$b=1$，$c=7$时，$F\left(M\right)=81+1-49-5=28$，$\frac{66}{F(M)}$不为整数，舍去，
③当$d=2$时，$4c+2d+2=6+4c$能被$9$整除，$c=3$，：$a+2b=c+d+2=7$，$-1\leqslant b\leqslant 2$，
当$a=3$，$b=2$，$c=3$时，$F\left(M\right)-9+2-9-5=-3$，$Y$为整数，则$G\left(M\right)=1$，
当$a=5.b=1$，$c=3$时，$F\left(M\right)=25+1-9-5=12$，$Y$不为整数，舍去，
当$a=7$，$b=0.c=3$时，$F\left(M\right)=49+0-9-5=35.Y$为整数，舍去，
当$a=9.b=-1$，$c=3$时，$F\left(M\right)-81+1-9-5=66$，$Y$为整数，则$G\left(M\right)=\frac{9-1+3}{2×3+2}=\frac{11}{8}$
④当$d=1$时，$4c+2d+2-4+4c$能被$9$整除，$c=8$，：$\therefore a+2b=c+d+2=11$，
$b=2$，$a=9$，
由$1\leqslant 2b+8\leqslant 9$，可知，$a$，$b$的值不符合题意，应舍去，
⑤当$d=0$时，$4c+2d+2=2+4c$能被$9$整除，$c=4$，则$a\neq 8$，：$a+2b=c+d+2=6$，$-15\leqslant b\leqslant 25$，
当$a=2$，$h=2$，$c=4$时，$F\left(M\right)=4+2-16-5=-15.Y$不为整数，舍去，
当$a=4.h=1$，$c=4$时，$F\left(M\right)=16+1-16-5=-4.Y$不为整数，舍去.
$\therefore$所有满足条件的$G\left(M\right)$的和为$\frac{7}{8}+1+\frac{11}{8}=\frac{13}{4}$.
故答案为：$\frac{13}{4}$.

$\because$最小的四位数的千位数字为$1$，各个数位的数字均不为零，
$1+2=2+1$，
$\therefore$最小“有序等和数”为$1221$，
$\because M=1000a+200b+120c+d+2=1000a+100\left(2b+c\right)+10\times 2c+d+2$，$1\leqslant a\leqslant 9$，$1\leqslant 2b+c\leqslant 9$，$1\leqslant c$，$d\leqslant 4$，
$\therefore M$的千位数为$a$，百位数为$2b+c$，十位数为$2c$，个位数为$d+2$，
又$\because M$为“有序等和数”，
$\therefore a+2b+c=2c+d+2$，即$a+2b=c+d+2$，且$a\neq 2c$，
$\therefore s=10a+2c$，$t=10\left(2b+c\right)+\left(d+2\right)$，
$\therefore s+t=10a+2c+20b+10c+d+2=10a+20b+12c+d+2=9a+18b+9c+a+2b+3c+d+2$，
$\because s+r$被$9$整除余$2$，
$\therefore a+2b+3c+d$能被$9$整除，
又$\because a+2b+c=2c+d+2$，
$\therefore a+2b+3c+d=a+2b+c+2c+d=\left(2c+d+2\right)+2c+d=4c+2d+2$，
$\because 1\leqslant a\leqslant 9$，$1\leqslant 2b+c\leqslant 9$，$1\leqslant c$，$d\leqslant 4$，$4c+2d+2$能被$9$整除，
设$4c+2d+2=9k$，则$8\leqslant 4c+2d+2\leqslant 45$，
$\therefore 1 \lt k\leqslant 5$.
$d=\frac{9k-2-4c}{2}$，
$\because d\leqslant 4$，
设$Y=\frac{66}{F(M)}$，
①当$d=4$时，$4c+2d+2=10+4c$能被$9$整除，$c=2$，则$a\neq 4$，
$\therefore a+2b=c+d+2=8$，$-0.5\leqslant b\leqslant 35$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=0}\end{array}\right.$，
$F\left(M\right)=a^{2}+b-c^{2}-5$，
当$a=2$，$b=3$，$c=2$时，$F\left(M\right)=4+3-4-5=-2$，$Y$为整数，则$G\left(M\right)=\frac{a+b+c}{2c+d}=\frac{2+3+2}{2×2+4}=\frac{7}{8}$，
当$a=6$，$b=1$，$c-2$时，$F\left(M\right)=36+1-4-5=28$，$Y$不为整数，舍去，
当$a=8$，$b=0$，$c=2$时，$F\left(M\right)=64+0-4-5=55$，$Y$不为整数，舍去，
②当$d=3$时，$4c+2d+2=8+4c$能被$9$整除，$c=7$.
$\therefore a+2b=c+d+2=11$，$-3\leqslant b\leqslant 1$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=1}\end{array}\right.$，$9-1+3$
$\therefore F\left(M\right)=a^{2}+b-c^{2}-5$，
当$a=9$，$b=1$，$c=7$时，$F\left(M\right)=81+1-49-5=28$，$\frac{66}{F(M)}$不为整数，舍去，
③当$d=2$时，$4c+2d+2=6+4c$能被$9$整除，$c=3$，：$a+2b=c+d+2=7$，$-1\leqslant b\leqslant 2$，
当$a=3$，$b=2$，$c=3$时，$F\left(M\right)-9+2-9-5=-3$，$Y$为整数，则$G\left(M\right)=1$，
当$a=5.b=1$，$c=3$时，$F\left(M\right)=25+1-9-5=12$，$Y$不为整数，舍去，
当$a=7$，$b=0.c=3$时，$F\left(M\right)=49+0-9-5=35.Y$为整数，舍去，
当$a=9.b=-1$，$c=3$时，$F\left(M\right)-81+1-9-5=66$，$Y$为整数，则$G\left(M\right)=\frac{9-1+3}{2×3+2}=\frac{11}{8}$
④当$d=1$时，$4c+2d+2-4+4c$能被$9$整除，$c=8$，：$\therefore a+2b=c+d+2=11$，
$b=2$，$a=9$，
由$1\leqslant 2b+8\leqslant 9$，可知，$a$，$b$的值不符合题意，应舍去，
⑤当$d=0$时，$4c+2d+2=2+4c$能被$9$整除，$c=4$，则$a\neq 8$，：$a+2b=c+d+2=6$，$-15\leqslant b\leqslant 25$，
当$a=2$，$h=2$，$c=4$时，$F\left(M\right)=4+2-16-5=-15.Y$不为整数，舍去，
当$a=4.h=1$，$c=4$时，$F\left(M\right)=16+1-16-5=-4.Y$不为整数，舍去.
$\therefore$所有满足条件的$G\left(M\right)$的和为$\frac{7}{8}+1+\frac{11}{8}=\frac{13}{4}$.
故答案为：$\frac{13}{4}$.