C

如图，

连接$CH$并延长，交$AD$于点$P$，连接$PE$.
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，$AD$∥$BC.$
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，$AB=6$，$BC=8$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3，CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DPH=\angle FCH$，
$\because H$是$FD$的中点，
$\therefore DH=FH$，
在$\triangle PDH$与$\triangle CFH$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠DPH=∠FCH\\∠DHP=∠FHC\\ DH=FH\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PDH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore PD=CF=4$，$PH=CH$，
$\therefore AP=AD-PD=4$，
$\therefore PE=\sqrt{A{P}^{2}+A{E}^{2}}=5$，
$\because G$是$EC$的中点，
$\therefore GH=\frac{1}{2}PE=2.5$.
故选：$C$.