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八年级数学填空题一般
题目
对于一个四位正整数MM,若它的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和,则称这个四位正整数MM是"和谐数".如:四位数27832783,∵2+8=7+3\because 2+8=7+3,∴2783\therefore 2783是"和谐数"；四位数53265326,∵5+2≠3+6\because 5+2\neq 3+6,∴5326\therefore 5326不是"和谐数",则最小的"和谐数"是______；若一个"和谐数"MM满足千位数字与百位数字的平方差是2424,且十位数字与个位数字的和能被55整除,则满足条件的MM的最大值是______.
知识点：一元一次不等式组的整数解、由实际问题抽象出一元一次不等式组章节：未标注

答案与解析

答案

∵1+0=0+1\because 1+0=0+1，
∴\therefore最小的和谐数是10011001，
设四位正整数abcd‾\overline{abcd}，
由题意得，a2−b2=24a^{2}-b^{2}=24，c+d=5k(kc+d=5k (k为正整数），a+c=b+da+c=b+d，
∵a2−b2=24\because a^{2}-b^{2}=24，0<a⩽90 \lt a\leqslant 9，0⩽b⩽90\leqslant b\leqslant 9，
由12=11^{2}=1，22=42^{2}=4，32=93^{2}=9，42=164^{2}=16，⋯⋯\cdots \cdots，92=819^{2}=81符合上诉条件的为72−52=247^{2}-5^{2}=24，
∴a=7\therefore a=7，b=5b=5，
由题意可得，7+c=5+d7+c=5+d，
可得c=d−2(2⩽d⩽9)c=d-2\left(2\leqslant d\leqslant 9\right)，
∵\because十位数字与个位数字的和能被55整除，
∴c+d=2d−2\therefore c+d=2d-2，
当c+d=2d−2=5c+d=2d-2=5时，d=72(d=\frac{7}{2}(舍去），
当c+d=2d−2=10c+d=2d-2=10时，d=6d=6，
当c+d=2d−2=15c+d=2d-2=15时，d=172(d=\frac{17}{2}(舍去），
∴d=6\therefore d=6，c=4c=4，
∴M\therefore M的最大值为75467546.
故答案为：10011001；75467546

解析

∵1+0=0+1\because 1+0=0+1，
∴\therefore最小的和谐数是10011001，
设四位正整数abcd‾\overline{abcd}，
由题意得，a2−b2=24a^{2}-b^{2}=24，c+d=5k(kc+d=5k (k为正整数），a+c=b+da+c=b+d，
∵a2−b2=24\because a^{2}-b^{2}=24，0<a⩽90 \lt a\leqslant 9，0⩽b⩽90\leqslant b\leqslant 9，
由12=11^{2}=1，22=42^{2}=4，32=93^{2}=9，42=164^{2}=16，⋯⋯\cdots \cdots，92=819^{2}=81符合上诉条件的为72−52=247^{2}-5^{2}=24，
∴a=7\therefore a=7，b=5b=5，
由题意可得，7+c=5+d7+c=5+d，
可得c=d−2(2⩽d⩽9)c=d-2\left(2\leqslant d\leqslant 9\right)，
∵\because十位数字与个位数字的和能被55整除，
∴c+d=2d−2\therefore c+d=2d-2，
当c+d=2d−2=5c+d=2d-2=5时，d=72(d=\frac{7}{2}(舍去），
当c+d=2d−2=10c+d=2d-2=10时，d=6d=6，
当c+d=2d−2=15c+d=2d-2=15时，d=172(d=\frac{17}{2}(舍去），
∴d=6\therefore d=6，c=4c=4，
∴M\therefore M的最大值为75467546.
故答案为：10011001；75467546

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