A

如图，连接$AB$、$AB\’$，
$\because A\left(0,4\right)$，$B\left(6,8\right)$，
$\therefore AB=\sqrt{(6-0)^{2}+(8-4)^{2}}=2\sqrt{13}$，
$\because$点$B$与${B\’}$关于直线$AP$对称，
$\therefore AB\’=AB=2\sqrt{13}$，
在$Rt\triangle AOB\’$中，${B\’}O=\sqrt{AB\’^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-{4}^{2}}=6$，
$\therefore {B\’}$点坐标为$\left(-6,0\right)$或$\left(6,0\right)$，
$\because A\left(0,4\right)$，点$B\left(6,8\right)$关于直线$AP$的对称点${B\’}$恰好落在$x$轴上，
$\therefore$点$B\left(6,8\right)$关于直线$AP$的对称点${B\’}\left(-6,0\right)$，
$\therefore {B\’}$点坐标为$\left(6,0\right)$不合题意舍去，
设直线$BB\’$方程为$y=kx+b$
将$B\left(6,8\right)$，${B\’}\left(-6,0\right)$代入得
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=8}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$k=\frac{2}{3}$，$b=4$，
$\therefore$直线$BB\’$的解析式为：$y=\frac{2}{3}x+4$，
$\therefore$直线$AP$的解析式为：$y=-\frac{3}{2}x+4$，
当$y_{AP}=0$时，$-\frac{3}{2}x+4=0$，
解得：$x=\frac{8}{3}$，
$\therefore$点$P$的坐标为：（$\frac{8}{3}$，$0)$；
故选：$A$.