连接$CH$并延长交$AD$于$P$，连接$PE$，

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，$AD$∥$BC$，$A B=A D=B C=4$，
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，
$\therefore AE=CF=\frac{1}{2}×4=2$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DPH=\angle FCH$，
$\because H$是$DF$的中点，
$\therefore DH=FH$，
在$\triangle PDH$和$\triangle CFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DPH=∠FCH\\∠PHD=∠CHF\\ DH=FH\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PDH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore PD=CF=2$，
$\therefore AP=AD-PD=2$，
$\therefore PE=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
$\because$点$G$，$H$分别是$EC$，$FD$的中点，
$\therefore GH=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$.

连接$CH$并延长交$AD$于$P$，连接$PE$，

$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，$AD$∥$BC$，$A B=A D=B C=4$，
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，
$\therefore AE=CF=\frac{1}{2}×4=2$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DPH=\angle FCH$，
$\because H$是$DF$的中点，
$\therefore DH=FH$，
在$\triangle PDH$和$\triangle CFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DPH=∠FCH\\∠PHD=∠CHF\\ DH=FH\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PDH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore PD=CF=2$，
$\therefore AP=AD-PD=2$，
$\therefore PE=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
$\because$点$G$，$H$分别是$EC$，$FD$的中点，
$\therefore GH=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$.