$\left(1\right)\because y=-x+8$与$y$轴交于点$B$，
$\therefore B\left(0,8\right)$.
又$C\left(-6,0\right)$，且$y=kx+b$经过$B$，$C$两点，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$.
$\therefore$直线$BC$的表达式：$y=\frac{4}{3}x+8$；
$(2)$①$\because$点$E$为射线$BC$上一点，
$\therefore E(m$，$\frac{4}{3}m+8)$，
$\because EF$∥$x$轴交$AB$于点$F$，
则$y_{F}=y_{E}=\frac{4}{3}m+8$.
$\therefore \frac{4}{3}m+8=-x_{F}+8$，
$\therefore x_{F}=-\frac{4}{3}m$，
$\therefore F(-\frac{4}{3}m$，$-\frac{4}{3}m+8)$，
又$\because EF=7$，
$\therefore -\frac{4}{3}m-m=7$，
解得：$m=-3$；
②由①知：$E\left(-3,4\right)$.
当$EN$为正方形的对角线，点$N$在点$E$的右上方时，如图，

分别过点$E$，$N$作$y$轴垂线，垂足为$K$，$H$.
易得$\triangle EKM$≌$\triangle MHN$，则$HM=EK=3$，
令$MK=x$，则$NH=x$，$BH=4-3-x=1-x$.
在$Rt\triangle BNH$中，$\frac{NH}{BH}=\frac{3}{4}$.
即$\frac{x}{1-x}=\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{3}{7}$.
则$EM^{2}=3^{2}+(\frac{3}{7})^{2}=\frac{450}{49}$.
所以${S}_{正方形WMNQ}=\frac{450}{49}$.
当$EN$为正方形的对角线，点$N$在点$E$的左下方时，如图，

方法同上，令$NK=a$，则$HM=a$，
又$MK=EH=3$，$BH=4$，则$BK=a+7$，
所以$\frac{a}{a+7}=\frac{3}{4}$，解得$a=21$.
则$MN^{2}=3^{2}+21^{2}=450$.
即$S_{正方形QNME}=450$.
综上所述：正方形的面积为：$\frac{450}{49}$或$450$.

$\left(1\right)\because y=-x+8$与$y$轴交于点$B$，
$\therefore B\left(0,8\right)$.
又$C\left(-6,0\right)$，且$y=kx+b$经过$B$，$C$两点，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$.
$\therefore$直线$BC$的表达式：$y=\frac{4}{3}x+8$；
$(2)$①$\because$点$E$为射线$BC$上一点，
$\therefore E(m$，$\frac{4}{3}m+8)$，
$\because EF$∥$x$轴交$AB$于点$F$，
则$y_{F}=y_{E}=\frac{4}{3}m+8$.
$\therefore \frac{4}{3}m+8=-x_{F}+8$，
$\therefore x_{F}=-\frac{4}{3}m$，
$\therefore F(-\frac{4}{3}m$，$-\frac{4}{3}m+8)$，
又$\because EF=7$，
$\therefore -\frac{4}{3}m-m=7$，
解得：$m=-3$；
②由①知：$E\left(-3,4\right)$.
当$EN$为正方形的对角线，点$N$在点$E$的右上方时，如图，

分别过点$E$，$N$作$y$轴垂线，垂足为$K$，$H$.
易得$\triangle EKM$≌$\triangle MHN$，则$HM=EK=3$，
令$MK=x$，则$NH=x$，$BH=4-3-x=1-x$.
在$Rt\triangle BNH$中，$\frac{NH}{BH}=\frac{3}{4}$.
即$\frac{x}{1-x}=\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{3}{7}$.
则$EM^{2}=3^{2}+(\frac{3}{7})^{2}=\frac{450}{49}$.
所以${S}_{正方形WMNQ}=\frac{450}{49}$.
当$EN$为正方形的对角线，点$N$在点$E$的左下方时，如图，

方法同上，令$NK=a$，则$HM=a$，
又$MK=EH=3$，$BH=4$，则$BK=a+7$，
所以$\frac{a}{a+7}=\frac{3}{4}$，解得$a=21$.
则$MN^{2}=3^{2}+21^{2}=450$.
即$S_{正方形QNME}=450$.
综上所述：正方形的面积为：$\frac{450}{49}$或$450$.