C

$\because$点$P(a+1$，$-\frac{a}{2}$）关于原点的对称点坐标为：$(-a-1$，$\frac{a}{2})$，该对称点在第四象限，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{-a-1＞0}\\{\frac{a}{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得：$a \lt -1$，
则$a$的取值范围在数轴上表示为：
.
故选：$C$.