作$BH\bot CD$交$DC$的延长线于点$H$，则$\angle H=90^{\circ}$，
$\because EG\bot CD$，
$\therefore BH$∥$EG$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB$∥$CD$，$AB=BC=CD$，
$\therefore BE$∥$GH$，
$\therefore$四边形$BEGH$是平行四边形，
$\therefore GH=BE=5$，
由折叠得$GE=BE=5$，
$\therefore BH=GE=5$，
$\because DG=3$，
$\therefore DH=DG+GH=3+5=8$，
$\because BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}$，$CH=8-CD=8-AB$，
$\therefore 5^{2}+\left(8-AB\right)^{2}=AB^{2}$，
解得$AB=\frac{89}{16}$，
$\therefore AE=AB-BE=\frac{89}{16}-5=\frac{9}{16}$，
故答案为：$\frac{9}{16}$.

作$BH\bot CD$交$DC$的延长线于点$H$，则$\angle H=90^{\circ}$，
$\because EG\bot CD$，
$\therefore BH$∥$EG$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB$∥$CD$，$AB=BC=CD$，
$\therefore BE$∥$GH$，
$\therefore$四边形$BEGH$是平行四边形，
$\therefore GH=BE=5$，
由折叠得$GE=BE=5$，
$\therefore BH=GE=5$，
$\because DG=3$，
$\therefore DH=DG+GH=3+5=8$，
$\because BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}$，$CH=8-CD=8-AB$，
$\therefore 5^{2}+\left(8-AB\right)^{2}=AB^{2}$，
解得$AB=\frac{89}{16}$，
$\therefore AE=AB-BE=\frac{89}{16}-5=\frac{9}{16}$，
故答案为：$\frac{9}{16}$.