（1）根据题意，建立平面直角坐标系，如图$1$所示：

$(2)$由（1）中建立的平面直角坐标系，即可标出图书馆和操场的位置，如图$2$所示：

$(3)$由（2）中的坐标系及宿舍楼与教学楼的位置，如图$3$所示：

$\therefore$教学楼的位置是$\left(5,-2\right)$，
$\because$宿舍楼的位置是$\left(2,6\right)$，
$\therefore$小明从宿舍楼出发前往教学楼上课，每次只能沿东西方向或南北方向走，有两条路径，如图$4$所示：

①他可以先走到点$A\left(2,-2\right)$处，再走到点$\left(5,-2\right)$处就到达了教学楼；
②他可以先走到点$B\left(5,6\right)$处，再走到点$\left(5,-2\right)$处就到达了教学楼；
故答案为：$\left(5,6\right)$或$\left(2,-2\right)$，$\left(5,-2\right)$.

（1）根据题意，建立平面直角坐标系，如图$1$所示：

$(2)$由（1）中建立的平面直角坐标系，即可标出图书馆和操场的位置，如图$2$所示：

$(3)$由（2）中的坐标系及宿舍楼与教学楼的位置，如图$3$所示：

$\therefore$教学楼的位置是$\left(5,-2\right)$，
$\because$宿舍楼的位置是$\left(2,6\right)$，
$\therefore$小明从宿舍楼出发前往教学楼上课，每次只能沿东西方向或南北方向走，有两条路径，如图$4$所示：

①他可以先走到点$A\left(2,-2\right)$处，再走到点$\left(5,-2\right)$处就到达了教学楼；
②他可以先走到点$B\left(5,6\right)$处，再走到点$\left(5,-2\right)$处就到达了教学楼；
故答案为：$\left(5,6\right)$或$\left(2,-2\right)$，$\left(5,-2\right)$.