D

因为$A$在$-1$的左边，$B$在$0$和$1$之间，所以$a \lt -1$，$0 \lt b \lt 1$；
$a$的绝对值大于$b$的绝对值，则$a+b \lt 0$；$\frac{a}{b} \lt 0$；$ab \lt 0$；$b-a \gt 0$.
故选：$D$.