证明：连接$DE$.假设$BD$和$CE$互相平分.
根据平行四边形的性质可得：四边形$EBCD$是平行四边形，
$\therefore BE$∥$CD.$
$\because$在$\triangle ABC$中，点$D$、$E$分别在$AC$、$AB$上，
$\therefore AB$与$AC$不可能平行，与已知矛盾，
所以假设$BD$和$CE$互相平分不成立，
$\therefore$线段$BD$和$CE$不可能互相平分.

证明：连接$DE$.假设$BD$和$CE$互相平分.
根据平行四边形的性质可得：四边形$EBCD$是平行四边形，
$\therefore BE$∥$CD.$
$\because$在$\triangle ABC$中，点$D$、$E$分别在$AC$、$AB$上，
$\therefore AB$与$AC$不可能平行，与已知矛盾，
所以假设$BD$和$CE$互相平分不成立，
$\therefore$线段$BD$和$CE$不可能互相平分.