$\because \angle ACB=\angle ADB=90^{\circ}$，$M$、$N$分别是$AB$、$CD$的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AB$，$DM=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore MC=MD$，
$\because N$是$CD$的中点，
在$\triangle DMN$和$\triangle CMN$中，$\left\{{\begin{array}{l}{CM=DM}\\{MN=MN}\\{DN=CN}\end{array}}\right.$，
$\therefore \triangle DMN$≌$\triangle CMN\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle MNC=\angle MND=90^{\circ}$，
$\therefore MN\bot CD$；
$\because AB=50$，
$\therefore DM=CM=25$，
$\because CD=48$，$N$是$CD$的中点，
$\therefore CN=24$，
$\therefore$在$Rt\triangle MNC$中，有$MN=\sqrt{C{M^2}-C{N^2}}=\sqrt{{{25}^2}-{{24}^2}}=7$，
故答案为：$7$.

$\because \angle ACB=\angle ADB=90^{\circ}$，$M$、$N$分别是$AB$、$CD$的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AB$，$DM=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore MC=MD$，
$\because N$是$CD$的中点，
在$\triangle DMN$和$\triangle CMN$中，$\left\{{\begin{array}{l}{CM=DM}\\{MN=MN}\\{DN=CN}\end{array}}\right.$，
$\therefore \triangle DMN$≌$\triangle CMN\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle MNC=\angle MND=90^{\circ}$，
$\therefore MN\bot CD$；
$\because AB=50$，
$\therefore DM=CM=25$，
$\because CD=48$，$N$是$CD$的中点，
$\therefore CN=24$，
$\therefore$在$Rt\triangle MNC$中，有$MN=\sqrt{C{M^2}-C{N^2}}=\sqrt{{{25}^2}-{{24}^2}}=7$，
故答案为：$7$.