$y=x^{2}+2x+3=\left(x+1\right)^{2}+2$，抛物线顶点坐标$\left(-1,2\right)$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$，

$\because -3\leqslant x\leqslant m$时，函数$y$的最大值是$6$，最小值是$2$，

当函数值为$2$时，$\left(x+1\right)^{2}+2=2$，

解得$x=-1$，

当函数值为$6$时，$\left(x+1\right)^{2}+2=6$，

解得：$x=1$或$-3$.

$\therefore -1\leqslant m\leqslant 1$.

故答案为：$-1\leqslant m\leqslant 1$.

$y=x^{2}+2x+3=\left(x+1\right)^{2}+2$，抛物线顶点坐标$\left(-1,2\right)$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$，

$\because -3\leqslant x\leqslant m$时，函数$y$的最大值是$6$，最小值是$2$，

当函数值为$2$时，$\left(x+1\right)^{2}+2=2$，

解得$x=-1$，

当函数值为$6$时，$\left(x+1\right)^{2}+2=6$，

解得：$x=1$或$-3$.

$\therefore -1\leqslant m\leqslant 1$.

故答案为：$-1\leqslant m\leqslant 1$.