蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间.如图,某个温室大棚的横截面可以看作矩形$ABCD$和抛物线$AED$构成,其中$AB=3m$,$BC=4m$,取$BC$中点$O$,过点$O$作线段$BC$的垂直平分线$OE$交抛物线$AED$于点$E$,若以$O$点为原点,$BC$所在直线为$x$轴,$OE$为$y$轴建立如图所示平面直角坐标系.请回答下列问题:
$(1)$如图,抛物线$AED$的顶点$E\left(0,4\right)$,求抛物线的解析式；
$(2)$如图,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置$LFGT$,$SMNR$,若$FL=NR=0.75m$,求两个正方形装置的间距$GM$的长.