题目
如图,在矩形
ABCD中,
AB=1,对角线
AC与
BD相交于点
O,
AE⊥BD,垂足为
E,若
DE=3BE,则
AD的长是______.
知识点：等边三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线、矩形的性质、等边三角形的判定与性质章节：未标注
答案与解析
答案
∵DE=3BE，
∴BD=BE+DE=4BE，
∵四边形
ABCD为矩形，
∴∠BAD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA=∠BAD=90∘，
又
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB:BD=BE:AB，
∴AB2=BE⋅BD，
∵AB=1，
∴BE⋅4BE=1，
∴BE=21，
∴BD=4BE=2，
在
Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=BD2−AB2=3.
解析
∵DE=3BE，
∴BD=BE+DE=4BE，
∵四边形
ABCD为矩形，
∴∠BAD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA=∠BAD=90∘，
又
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB:BD=BE:AB，
∴AB2=BE⋅BD，
∵AB=1，
∴BE⋅4BE=1，
∴BE=21，
∴BD=4BE=2，
在
Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=BD2−AB2=3.
