$\left(1\right)\because$三角形$ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$\angle C=60^{\circ}$，
$\because DG\bot AC$，
$\therefore \angle CGD=\angle AGD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDG=30^{\circ}$，
$\therefore CD=2CG=8$，
$\therefore DG=\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}=4\sqrt{3}$，$AC=BC=BD+CD=10$，
$\therefore AG=AC-CG=6$，
$\therefore AD=\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}=2\sqrt{21}$；
$(2)EF=\frac{\sqrt{3}}{2}CF$.
证明：过点$C$作$CM\bot ED$，交$ED$的延长线于点$M$，过点$B$作$BN\bot DE$于点$N$，

$\because \triangle ABC$和$\triangle AEF$都是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$AE=AF$，$\angle BAC=\angle EAF=\angle AFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAF$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ACF\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=CF$，$\angle BEA=\angle CFA=150^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=90^{\circ}$，
$\because DE$∥$CF$，
$\therefore \angle MEF=90^{\circ}$，
$\because CM\bot EM$，
$\therefore$四边形$EMCF$为矩形，
$\therefore EF=CM$，
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$，
$\because \angle BDN=\angle CDM$，$\angle BND=\angle CMD=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDN$≌$\triangle CDM\left(AAS\right)$，
$\therefore BN=CM$，
$\therefore BN=EF$，
$\because \angle AEB=150^{\circ}$，$\angle AEF=60^{\circ}$，$\angle MEF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEM=360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \frac{BN}{BE}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{2}CF$；
$(3)$将$AC$绕点$A$旋转$120^{\circ}$至$AK$位置，连接$KE$，则：$AC=AK$，$\angle CAK=120^{\circ}$，

$\because AD=AE$，$\angle DAE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle EAK=120^{\circ}-\angle CAE$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle AKE\left(SAS\right)$，
$\therefore CD=KE$，$\angle AKE=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore$点$E$在射线$KE$上运动，
$\therefore$当$CE\bot KE$时，$CE$的长最短，如图$4$：

过点$A$作$AM\bot KE$，则：$\angle AME=\angle AMK=90^{\circ}$，
$\because \angle K=60^{\circ}$，
$\therefore \angle KAM=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CAM=\angle CAK-\angle KAM=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，
又$\because \angle CEM=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ACEM$为矩形，
$\therefore AM=CE$，$AC=EM$，
设$AC=a$，则：$AK=a$，$BC=a$，$EM=a$，
$\because \angle AMK=90^{\circ}$，$\angle KAM=30^{\circ}$，
$\therefore KM=\frac{1}{2}a$，$AM=\sqrt{A{K}^{2}-K{M}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
$\therefore AE=\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，$KE=KM+ME=a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$，
$\therefore AD=AE=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，$CD=KE=\frac{3}{2}a$，
$\therefore BD=CD-BC=\frac{1}{2}a$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}a}{\frac{1}{2}a}=\sqrt{7}$.

$\left(1\right)\because$三角形$ABC$是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$\angle C=60^{\circ}$，
$\because DG\bot AC$，
$\therefore \angle CGD=\angle AGD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDG=30^{\circ}$，
$\therefore CD=2CG=8$，
$\therefore DG=\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}=4\sqrt{3}$，$AC=BC=BD+CD=10$，
$\therefore AG=AC-CG=6$，
$\therefore AD=\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}=2\sqrt{21}$；
$(2)EF=\frac{\sqrt{3}}{2}CF$.
证明：过点$C$作$CM\bot ED$，交$ED$的延长线于点$M$，过点$B$作$BN\bot DE$于点$N$，

$\because \triangle ABC$和$\triangle AEF$都是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$AE=AF$，$\angle BAC=\angle EAF=\angle AFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAF$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ACF\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=CF$，$\angle BEA=\angle CFA=150^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=90^{\circ}$，
$\because DE$∥$CF$，
$\therefore \angle MEF=90^{\circ}$，
$\because CM\bot EM$，
$\therefore$四边形$EMCF$为矩形，
$\therefore EF=CM$，
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$，
$\because \angle BDN=\angle CDM$，$\angle BND=\angle CMD=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDN$≌$\triangle CDM\left(AAS\right)$，
$\therefore BN=CM$，
$\therefore BN=EF$，
$\because \angle AEB=150^{\circ}$，$\angle AEF=60^{\circ}$，$\angle MEF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEM=360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \frac{BN}{BE}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{2}CF$；
$(3)$将$AC$绕点$A$旋转$120^{\circ}$至$AK$位置，连接$KE$，则：$AC=AK$，$\angle CAK=120^{\circ}$，

$\because AD=AE$，$\angle DAE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle EAK=120^{\circ}-\angle CAE$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle AKE\left(SAS\right)$，
$\therefore CD=KE$，$\angle AKE=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore$点$E$在射线$KE$上运动，
$\therefore$当$CE\bot KE$时，$CE$的长最短，如图$4$：

过点$A$作$AM\bot KE$，则：$\angle AME=\angle AMK=90^{\circ}$，
$\because \angle K=60^{\circ}$，
$\therefore \angle KAM=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CAM=\angle CAK-\angle KAM=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，
又$\because \angle CEM=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ACEM$为矩形，
$\therefore AM=CE$，$AC=EM$，
设$AC=a$，则：$AK=a$，$BC=a$，$EM=a$，
$\because \angle AMK=90^{\circ}$，$\angle KAM=30^{\circ}$，
$\therefore KM=\frac{1}{2}a$，$AM=\sqrt{A{K}^{2}-K{M}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
$\therefore AE=\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，$KE=KM+ME=a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$，
$\therefore AD=AE=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，$CD=KE=\frac{3}{2}a$，
$\therefore BD=CD-BC=\frac{1}{2}a$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}a}{\frac{1}{2}a}=\sqrt{7}$.