在等边$\triangle ABC$中,点$D$为直线$BC$上一点.
$(1)$如图$1$,若点$D$为边$BC$上一点,连接$AD$.过点$D$作$DG\bot AC$于点$G$,若$BD=2$,$CG=4$,求$AD$的长；
$(2)$如图$2$,若点$D$为边$BC$的中点,以点$A$为顶点作等边$\triangle AEF$,连接$BE$,$DE$,$CF$,当$\angle AEB=150^{\circ}$且$DE$∥$CF$时,用等式表示线段$EF$与$CF$之间的数量关系,并证明；
$(3)$如图$3$,若点$D$为直线$BC$上一点,将线段$AD$绕$A$点逆时针旋转$120^{\circ}$至$AE$位置,连接$CE$,当$CE$取得最小值时,请直接写出$\frac{AD}{BD}$的值.