C

数轴上与原点距离$3$个单位长度的点所表示的有理数有两种情况：
当该点在原点右边时，其表示的数为$0+3=3$，
当该点在原点左边时，其表示的数为$0-3=-3$，
$\therefore$在数轴上与原点距离$3$个单位长度的点所表示的有理数是$\pm 3$，
故选：$C$.