如图$1$中，$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，$\because AB=BD$，
$\therefore AB=BD=AD=10$，
$\therefore \triangle ABD$是等边三角形，
当$AE=EB$，$AF=FD$时，重叠部分的面积最大，最大面积$=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 10^{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$，

如图$2$中，当$OA_{1}$与$BC$交于点$E$，$OC_{1}$交$AB$与$F$时，作$OG\bot AB$与$G$，$OH\bot BC$于$H$.
易证$\triangle OGF$≌$\triangle OHE$，
$\therefore S_{四边形BEOF}=S_{四边形OGBH}=\frac{5}{2}\times \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
观察图象图象可知，在旋转过程中，重叠部分是三角形时，当点$E$与$B$重合，此时三角形的面积最小为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
综上所述，重叠部分的面积$S$的范围为$\frac{25\sqrt{3}}{4}\leqslant s≤\frac{25\sqrt{3}}{2}$.

如图$1$中，$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，$\because AB=BD$，
$\therefore AB=BD=AD=10$，
$\therefore \triangle ABD$是等边三角形，
当$AE=EB$，$AF=FD$时，重叠部分的面积最大，最大面积$=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 10^{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$，

如图$2$中，当$OA_{1}$与$BC$交于点$E$，$OC_{1}$交$AB$与$F$时，作$OG\bot AB$与$G$，$OH\bot BC$于$H$.
易证$\triangle OGF$≌$\triangle OHE$，
$\therefore S_{四边形BEOF}=S_{四边形OGBH}=\frac{5}{2}\times \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
观察图象图象可知，在旋转过程中，重叠部分是三角形时，当点$E$与$B$重合，此时三角形的面积最小为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
综上所述，重叠部分的面积$S$的范围为$\frac{25\sqrt{3}}{4}\leqslant s≤\frac{25\sqrt{3}}{2}$.