（1）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=5$，
故答案为：$5$；
$(2)\because$矩形$PDBF$恰好是正方形，
$\therefore PD=BD$，
$\because PD\bot AB$，
$\therefore \angle PDB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADP=\angle ACB$，
$\because \angle A=\angle A$，
$\therefore \triangle APD$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$，
$\because AP=t$，
$\therefore AD=\frac{4t}{5}$，$PD=\frac{3t}{5}$，
$BD=AB-AD=5-\frac{4t}{5}$，
$\therefore \frac{3}{5}t=5-\frac{4t}{5}$，
$\therefore t=\frac{25}{7}$，
$\therefore t$的值为$\frac{25}{7}$；
$(3)$由（2）知，$BD=5-\frac{4}{5}t$，$PD=\frac{3}{5}t$，
$\because DF\bot BC$，
$\therefore \angle BDF+\angle ABC=90^{\circ}$，
$\because \angle BAC+\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=\angle BDF$，
$\because$矩形$PDBF$，
$\therefore PD=FB=\frac{3}{5}t$，$\angle DBF=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DFB$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{DB}{AC}=\frac{FB}{BC}$，
$\therefore \frac{5-\frac{4}{5}t}{4}=\frac{\frac{3}{5}t}{3}$，
$\therefore t=\frac{25}{8}$，
$\therefore t$的值为$\frac{25}{8}$；
$(4)QF$与$BD$交于点$M$，
①当点$P$在$AC$上时，

$\because PF$∥$BD$，
$\therefore \frac{DQ}{PQ}=\frac{DM}{PF}$，
$\therefore DM=\frac{2PF}{PQ}$，
$\because$直线$QF$分矩形$PDBF$的面积为$1:5$两部分，
$\therefore S_{梯形DMFP}=\frac{1}{6}S_{矩形PDBF}$或$S_{梯形DMFP}=\frac{5}{6}S_{矩形PDBF}$，
$\therefore \frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{1}{6}PD\cdot BD$或$\frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{5}{6}PD\cdot BD$，
$\because PF=BD$，
$\therefore \frac{2}{PQ}=1(舍去)$或$\frac{2}{PQ}=\frac{2}{3}$，
$\because PQ=PD+DQ=2+\frac{3}{5}t$，
$\therefore t=\frac{5}{3}$；
②当点$P$在$BC$上时，

$\because PF$∥$BD$，
$\therefore \frac{DQ}{PQ}=\frac{DM}{PF}$，
$\therefore DM=\frac{2PF}{PQ}$，
$\because$直线$QF$分矩形$PDBF$的面积为$1:5$两部分，
$\therefore S_{梯形DMFP}=\frac{1}{6}S_{矩形PDBF}$或$S_{梯形DMFP}=\frac{5}{6}S_{矩形PDBF}$，
$\therefore \frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{1}{6}PD\cdot BD$或$\frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{5}{6}PD\cdot BD$，
$\because PF=BD$，
$\therefore \frac{2}{PQ}=1(舍去)$或$\frac{2}{PQ}=\frac{2}{3}$，
$\because \triangle PDB$∽$\triangle ACB$，
$\therefore \frac{PD}{AC}=\frac{PB}{AB}$，
$\because PB=7-t$，
$\therefore PD=\frac{28-4t}{5}$，
$\therefore PQ=PD+DQ=2+\frac{28-4t}{5}$，
$\therefore t=\frac{23}{4}$；
综上，$t$的值为$\frac{5}{3}$或$\frac{23}{4}$.

（1）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=5$，
故答案为：$5$；
$(2)\because$矩形$PDBF$恰好是正方形，
$\therefore PD=BD$，
$\because PD\bot AB$，
$\therefore \angle PDB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADP=\angle ACB$，
$\because \angle A=\angle A$，
$\therefore \triangle APD$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$，
$\because AP=t$，
$\therefore AD=\frac{4t}{5}$，$PD=\frac{3t}{5}$，
$BD=AB-AD=5-\frac{4t}{5}$，
$\therefore \frac{3}{5}t=5-\frac{4t}{5}$，
$\therefore t=\frac{25}{7}$，
$\therefore t$的值为$\frac{25}{7}$；
$(3)$由（2）知，$BD=5-\frac{4}{5}t$，$PD=\frac{3}{5}t$，
$\because DF\bot BC$，
$\therefore \angle BDF+\angle ABC=90^{\circ}$，
$\because \angle BAC+\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=\angle BDF$，
$\because$矩形$PDBF$，
$\therefore PD=FB=\frac{3}{5}t$，$\angle DBF=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DFB$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{DB}{AC}=\frac{FB}{BC}$，
$\therefore \frac{5-\frac{4}{5}t}{4}=\frac{\frac{3}{5}t}{3}$，
$\therefore t=\frac{25}{8}$，
$\therefore t$的值为$\frac{25}{8}$；
$(4)QF$与$BD$交于点$M$，
①当点$P$在$AC$上时，

$\because PF$∥$BD$，
$\therefore \frac{DQ}{PQ}=\frac{DM}{PF}$，
$\therefore DM=\frac{2PF}{PQ}$，
$\because$直线$QF$分矩形$PDBF$的面积为$1:5$两部分，
$\therefore S_{梯形DMFP}=\frac{1}{6}S_{矩形PDBF}$或$S_{梯形DMFP}=\frac{5}{6}S_{矩形PDBF}$，
$\therefore \frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{1}{6}PD\cdot BD$或$\frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{5}{6}PD\cdot BD$，
$\because PF=BD$，
$\therefore \frac{2}{PQ}=1(舍去)$或$\frac{2}{PQ}=\frac{2}{3}$，
$\because PQ=PD+DQ=2+\frac{3}{5}t$，
$\therefore t=\frac{5}{3}$；
②当点$P$在$BC$上时，

$\because PF$∥$BD$，
$\therefore \frac{DQ}{PQ}=\frac{DM}{PF}$，
$\therefore DM=\frac{2PF}{PQ}$，
$\because$直线$QF$分矩形$PDBF$的面积为$1:5$两部分，
$\therefore S_{梯形DMFP}=\frac{1}{6}S_{矩形PDBF}$或$S_{梯形DMFP}=\frac{5}{6}S_{矩形PDBF}$，
$\therefore \frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{1}{6}PD\cdot BD$或$\frac{1}{2}\left(DM+PF\right)\cdot PD=\frac{5}{6}PD\cdot BD$，
$\because PF=BD$，
$\therefore \frac{2}{PQ}=1(舍去)$或$\frac{2}{PQ}=\frac{2}{3}$，
$\because \triangle PDB$∽$\triangle ACB$，
$\therefore \frac{PD}{AC}=\frac{PB}{AB}$，
$\because PB=7-t$，
$\therefore PD=\frac{28-4t}{5}$，
$\therefore PQ=PD+DQ=2+\frac{28-4t}{5}$，
$\therefore t=\frac{23}{4}$；
综上，$t$的值为$\frac{5}{3}$或$\frac{23}{4}$.