D

由题得，点$Q$移动的路程为$2x$，点$P$移动的路程为$x$，
$\angle A=\angle C=60^{\circ}$，$AB=BC=2$，
①如图，当点$Q$在$AB$上运动时，过点$Q$作$QD\bot AC$于$D$，则
$AQ=2x$，$DQ=\sqrt{3}x$，$AP=x$，
$\therefore \triangle APQ$的面积$y=\frac{1}{2}\times x\times \sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}(0 \lt x\leqslant 1)$，
即当$0 \lt x\leqslant 1$时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故$\left(A\right)$、$\left(B\right)$排除；

②如图，当点$Q$在$BC$上运动时，过点$Q$作$QE\bot AC$于$E$，则
$CQ=4-2x$，$EQ=2\sqrt{3}-\sqrt{3}x$，$AP=x$，
$\therefore \triangle APQ$的面积$y=\frac{1}{2}\times x\times (2\sqrt{3}-\sqrt{3}x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+\sqrt{3}x\left(1 \lt x\leqslant 2\right)$，
即当$1 \lt x\leqslant 2$时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故$\left(C\right)$排除，而$\left(D\right)$正确；

故选：$D$.