如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=3$,$BC=4$,$M$为$BC$中点,动点$P$以每秒$1$个单位长度的速度从点$M$出发,沿折线$M\rightarrow B\rightarrow A$方向运动,设运动时间为$t$秒,$\triangle APC$的面积为$S$.
$(1)$求出$S$关于$t$的函数表达式,并注明自变量$t$的取值范围；
$(2)$在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
$(3)$当$4 \lt S\leqslant 6$时,直接写出$t$的取值范围.