D

把$y=8$代入函数$y=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2(x≤2)\\ 2x(x＞2)\end{array}\right.$，
先代入上边的方程得$x=±\sqrt{6}$，
$\because x\leqslant 2$，$x=\sqrt{6}$不合题意舍去，故$x=-\sqrt{6}$；
再代入下边的方程$x=4$，
$\because x \gt 2$，故$x=4$，
综上，$x$的值为$4$或$-\sqrt{6}$.
故选：$D$.