如图是某同学正在设计的一动画示意图,$x$轴上依次有$A$,$O$,$N$三个点,且$AO=2$,在$ON$上方有五个台阶$T_{1}\sim T_{5}($各拐角均为$90^{\circ})$,每个台阶的高、宽分别是$1$和$1.5$,台阶$T_{1}$到$x$轴距离$OK=10$.从点$A$处向右上方沿抛物线$L:y=-x^{2}+4x+12$发出一个带光的点$P$.
$(1)$写出抛物线$L$与$y$轴的交点坐标为______,点$A$的坐标为______；
$(2)$通过计算说明点$P$会落在哪个台阶上；
$(3)$当点$P$落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与$L$形状相同的抛物线$C$,且最大高度为$11$,求$C$的解析式,并说明其对称轴是否与台阶$T_{5}$有交点.