一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，

故方差不变，

$\because 11$，$12$，$13$，$14$，$15$是在原数据$1$，$2$，$3$，$4$，$5$中每个数均加上$10$，

$\therefore$数据$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的方差与数据$11$，$12$，$13$，$14$，$15$的方差相同，

故选：$C$.