C

$A$、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；
$B$、$\sqrt{5a}$，$a\geqslant 0$时，一定是二次根式，故此选项错误；
$C$、$\sqrt{{m}^{2}+1}$一定是二次根式，故此选项正确；
$D$、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；
故选：$C$.