A

$A$、给别人发送电子邮件时，必须在收信栏里输入对方的信箱地址，故该选项说法正确；
$B$、电子信箱是网络电子邮局为网络客户提供的网络交流电子信息空间，不是用户计算机上的空间，故该选项说法错误；
$C$、无论对方的计算机开机与否，都能向对方发送电子邮件，故该选项说法错误。
$D$、发送电子邮件，除非给自己发信，一般不需要输入自己的信箱地址，故该选项说法错误。
故选：$A$。