$\because \triangle ABC$的周长为$21$，$BC=6$，

$\therefore AC+AB=21-6=15$，

设$I$与$\triangle ABC$的三边$AB$、$BC$、$AC$的切点为$M$、$N$、$Q$，切$DE$为$P,$

$\because DM=DP$，$BN=BM$，$CN=CQ$，$EQ=EP$，

$\therefore BM+CQ=BN+CN=BC=6$，

$\therefore \triangle ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE$

$=AD+DM+AE+EQ$

$=AB-BM+AC-CQ$

$=AC+AB-\left(BM+CQ\right)$

$=15-6=9$，

故答案为$9$.

$\because \triangle ABC$的周长为$21$，$BC=6$，

$\therefore AC+AB=21-6=15$，

设$I$与$\triangle ABC$的三边$AB$、$BC$、$AC$的切点为$M$、$N$、$Q$，切$DE$为$P,$

$\because DM=DP$，$BN=BM$，$CN=CQ$，$EQ=EP$，

$\therefore BM+CQ=BN+CN=BC=6$，

$\therefore \triangle ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE$

$=AD+DM+AE+EQ$

$=AB-BM+AC-CQ$

$=AC+AB-\left(BM+CQ\right)$

$=15-6=9$，

故答案为$9$.