【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,解决此类问题时一般要进行转化,其中"作差法"就是常用的方法之一.其依据是不等式（或等式）的性质:若$x-y \gt 0$,则$x \gt y$；若$x-y=0$,则$x=y$；若$x-y \lt 0$,则$x \lt y$.
例:已知$m=a^{2}+ab$,$n=3ab-b^{2}$,其中$a\neq b$.求证:$m \gt n$.证明:$m-n=a^{2}+ab-3ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=\left(a-b\right)^{2}$.
$\because a\neq b$,
$\therefore \left(a-b\right)^{2} \gt 0$.
$\therefore m \gt n$.
【新知应用】
$(1)$比较大小:$x-1 \_\_\_\_\_\_2+x.$
$(2)$甲、乙两个长方形的长和宽如图所示$(m$为正整数）,其面积分别为$S_{1}$、$S_{2}$.试比较$S_{1}$、$S_{2}$的大小关系.
【实际应用】
$(3)$请用"作差法"解决下列问题:
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放,有$A$、$B$两种方案可供选择,$A$方案:每次按原价打八五折；$B$方案:第一次按照原价,从第二次起每次打八折.请问游泳的同学选择哪种方案更合算?
【拓展提升】
$(4)$已知$x$、$y$、$z$满足$x+2y-5z=-7$,$x-y+z=2$,比较代数式$x^{2}-y^{2}$与$2z^{2}$的大小.