（1）接收到的密文内容是“$yano$”，
$y$对应的数字为$25$，为奇数，则明文是序号$\frac{25+1}{2}=13$对应的英文字母$m$，
$a$对应的数字为$1$，为奇数，则明文是序号为$\frac{1+1}{2}=1$对应的英文字母$a$，
$n$对应的数字为$14$，为偶数，则明文是序号为$\frac{14}{2}+13=20$对应的英文字母$t$，
$o$对应的数字为$15$，为奇数，则明文是序号为$\frac{15+1}{2}=8$对应的数字$h$，
所以密文破译后得到的明文为“$math$”；
$(2)$存在.
因为当密文里和明文里是同一个字母时，密文和明文对应的数字相同，
所以当密文中的英文字母对应的数字为$x$，$x$为偶数时，明文是序号为$\frac{x}{2}+13$，此时若$x=\frac{x}{2}+13$，解得$x=26$；
当密文中的英文字母对应的数字为$x$，$x$为奇数时，明文是序号为$\frac{x+1}{2}$，此时若$x=\frac{x+1}{2}$，解得$x=1$，
故存在在密文里和明文里是同一个字母，这样的英文字母是$a$，$z$；
$(3)$因为当${x\’}=\frac{x}{2}+13$时，$x=2x\’-26\left({x\’} \gt 13\right)$，
当${x\’}=\frac{x+1}{2}$时，$x=2x\’-1\left({x\’}\leqslant 13\right)$，
所以密文是序号为$2x\’-26$对应的英文字母，或密文是序号为$2x\’-1$对应的英文字母，
当明文为“$sunday$”时，
因为$s$对应的数字为$19 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 19-26=12$对应的字母$l$；
$u$对应的数字为$21 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 21-26=16$对应的字母$p$；
$n$对应的数字为$14 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 14-26=2$对应的字母$b$；
$d$对应的数字为$4\leqslant 13$，则密文是序号为$2\times 4-1=7$对应的字母$g$；
$a$对应的数字为$1\leqslant 13$，则密文是序号为$2\times 1-1=1$对应的字母为$a$；
$y$对应的数字为$25 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 25-26=24$对应的字母$x$，
所以应该传输的密文为$lpbgax$.

（1）接收到的密文内容是“$yano$”，
$y$对应的数字为$25$，为奇数，则明文是序号$\frac{25+1}{2}=13$对应的英文字母$m$，
$a$对应的数字为$1$，为奇数，则明文是序号为$\frac{1+1}{2}=1$对应的英文字母$a$，
$n$对应的数字为$14$，为偶数，则明文是序号为$\frac{14}{2}+13=20$对应的英文字母$t$，
$o$对应的数字为$15$，为奇数，则明文是序号为$\frac{15+1}{2}=8$对应的数字$h$，
所以密文破译后得到的明文为“$math$”；
$(2)$存在.
因为当密文里和明文里是同一个字母时，密文和明文对应的数字相同，
所以当密文中的英文字母对应的数字为$x$，$x$为偶数时，明文是序号为$\frac{x}{2}+13$，此时若$x=\frac{x}{2}+13$，解得$x=26$；
当密文中的英文字母对应的数字为$x$，$x$为奇数时，明文是序号为$\frac{x+1}{2}$，此时若$x=\frac{x+1}{2}$，解得$x=1$，
故存在在密文里和明文里是同一个字母，这样的英文字母是$a$，$z$；
$(3)$因为当${x\’}=\frac{x}{2}+13$时，$x=2x\’-26\left({x\’} \gt 13\right)$，
当${x\’}=\frac{x+1}{2}$时，$x=2x\’-1\left({x\’}\leqslant 13\right)$，
所以密文是序号为$2x\’-26$对应的英文字母，或密文是序号为$2x\’-1$对应的英文字母，
当明文为“$sunday$”时，
因为$s$对应的数字为$19 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 19-26=12$对应的字母$l$；
$u$对应的数字为$21 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 21-26=16$对应的字母$p$；
$n$对应的数字为$14 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 14-26=2$对应的字母$b$；
$d$对应的数字为$4\leqslant 13$，则密文是序号为$2\times 4-1=7$对应的字母$g$；
$a$对应的数字为$1\leqslant 13$，则密文是序号为$2\times 1-1=1$对应的字母为$a$；
$y$对应的数字为$25 \gt 13$，则密文是序号为$2\times 25-26=24$对应的字母$x$，
所以应该传输的密文为$lpbgax$.