不等式$3x-3m\leqslant -2m$的解集为$x\leqslant \frac{1}{3}m$，
$\because$正整数解为$1$，$2$，$3$，$4$，
$\therefore m$的取值范围是$4\leqslant \frac{1}{3}m \lt 5$，即$12\leqslant m \lt 15$.
故答案为：$12\leqslant m \lt 15$.

不等式$3x-3m\leqslant -2m$的解集为$x\leqslant \frac{1}{3}m$，
$\because$正整数解为$1$，$2$，$3$，$4$，
$\therefore m$的取值范围是$4\leqslant \frac{1}{3}m \lt 5$，即$12\leqslant m \lt 15$.
故答案为：$12\leqslant m \lt 15$.