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九年级数学选择题中等
题目
如图,矩形ABCDABCD,小福在矩形左边分割出正方形ABEFABEF,然后小龙在右边矩形FECDFECD的一组对边EFEF,CDCD上分别取中点MM,NN分割出矩形FMNDFMND和矩形MECNMECN,最后小马把矩形FMNDFMND对半分割成矩形FMHGFMHG和矩形GHNDGHND,若矩形GHNDGHND与矩形ABCDABCD相似,则矩形ABCDABCD的宽与长的比ABAD=(  )\frac{AB}{AD}=\left(\ \ \right)
A.
12\frac{1}{2}
B.
\frac{1-\sqrt{&}nbsp；5}{2}
C.
5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2}
D.
5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}
知识点：勾股定理、相似三角形的性质I、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质章节：第4章 图形的相似 / 4.3 相似多边形

答案与解析

答案

D

解析

由题意得，AB=EF=CDAB=EF=CD，FG=DGFG=DG，DN=CNDN=CN.
设FG=DG=aFG=DG=a，DN=CN=bDN=CN=b，
则FD=2aFD=2a，AB=EF=CD=2bAB=EF=CD=2b，
∵ABEF\because ABEF是正方形，
∴AF=AB=2b\therefore AF=AB=2b，
∴AD=2a+2b\therefore AD=2a+2b.
∵\because矩形GHNDGHND与矩形ABCDABCD相似，
∴DGAB=DNAD\therefore \frac{DG}{AB}=\frac{DN}{AD}，
∴a2b=b2a+2b\therefore \frac{a}{2b}=\frac{b}{2a+2b}，
∴a2+ab−b2=0\therefore a^{2}+ab-b^{2}=0，
∴(ab)2+ab−1=0\therefore {(\frac{a}{b})}^{2}+\frac{a}{b}-1=0，
∴ab=−1+52\therefore \frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}或ab=−1−52(\frac{a}{b}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}(舍去），
∴ADAB=2a+2b2b=−1+52+1=1+52\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2a+2b}{2b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}，
∴ABAD=21+5=5−12\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
故选：DD.

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