（1）方程$x+2y=5$，
解得：$x=-2y+5$，
当$y=1$时，$x=3$；$y=2$，$x=1$.
$(2)$联立得：$\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ x+y=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=5\end{array}\right.$，
代入得：$-5-10-5m+9=0$，
解得：$m=-\frac{6}{5}$.
$(3)\because x-2y+mx+9=0$，即$\left(1+m\right)x-2y+9=0$总有一个解，
$\therefore$方程的解与$m$无关，
$\therefore mx=0$，$x-2y+9=0$，
解得：$x=0$，$y=\frac{9}{2}$.
则方程的公共解为$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\frac{9}{2}\end{array}\right.$.

（1）方程$x+2y=5$，
解得：$x=-2y+5$，
当$y=1$时，$x=3$；$y=2$，$x=1$.
$(2)$联立得：$\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ x+y=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=5\end{array}\right.$，
代入得：$-5-10-5m+9=0$，
解得：$m=-\frac{6}{5}$.
$(3)\because x-2y+mx+9=0$，即$\left(1+m\right)x-2y+9=0$总有一个解，
$\therefore$方程的解与$m$无关，
$\therefore mx=0$，$x-2y+9=0$，
解得：$x=0$，$y=\frac{9}{2}$.
则方程的公共解为$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\frac{9}{2}\end{array}\right.$.