阅读下列材料,完成相应的任务:
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法,以$x^{2}-2x-3=0$为例,大致过程如下:
第一步:将原方程变形为$x^{2}-2x=3$.即$x\left(x-2\right)=3$.
第二步:构造一个长为$x$,宽为$x-2$的长方形,长比宽大$2$,且面积为$3$,如图$1$所示.
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图$2$所示.
第四步:将大正方形边长用含$x$的代数式表示为______.
小正方形边长为常数______,长方形面积之和为常数______.
由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程______,两边同时取算术平方根可求得$x=3$.
$(1)$这一过程体现的一种数学思想是______；
$A$.类比思想
$B$.统计思想
$C$.分类讨论思想
$D$.数形结合思想
$(2)$第四步中横线上应依次填入______,______,______,______；
$(3)$请参考古人的思考过程,在图$3$画出的示意图中,结合图$2$,写出关键数据,并直接写出运用这种方法求得方程$x^{2}-x-3=0$的一个解.