B

$\because 0$没有倒数，
$\therefore$①错误；
$\because -1 \lt m \lt 0$，
$\therefore m^{2} \gt m$，$m^{4} \lt 1$，
$\therefore m^{2} \lt \frac{1}{{m}^{2}}$，
$\therefore m \lt m^{2} \lt \frac{1}{{m}^{2}}$.
$\therefore$②正确；
$\because a+b \gt 0$，且$\frac{b}{a} \gt 0$，
$\therefore a \gt 0$，$b \gt 0$.
$\therefore a+2b \gt 0$.
$\therefore |a+2b|=a+2b$.
$\therefore$③错误；
$\because m$是有理数，
$\therefore$当$m=0$时，$|m|+m=0$；
当$m$是正数时，$|m|+m=m+m=2m \gt 0$，
当$m$是负数时，$|m|+m=-m+m=0$，
综上，若$m$是有理数，则$|m|+m$是非负数，
$\therefore$④正确；
$\because c \lt 0 \lt a \lt b$，
$\therefore a-b \lt 0$，$b-c \gt 0$，$c-a \lt 0$，
$\therefore \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right) \gt 0$.
$\therefore$⑤错误.
$\therefore$其中正确的有：②④.
故选：$B$.