B

$A$、原来数据的平均数是$2$，添加数字$3$后平均数为$\frac{11}{5}$，故不符合题意；
$B$、原来数据的中位数是$2$，添加数字$3$后中位数仍为$2$，故符合题意；
$C$、原来数据的众数是$2$，添加数字$3$后众数为$2$和$3$，故不符合题意；
$D$、原来数据的方差$=\frac{1}{4}[\left(1-2\right)^{2}+2\times \left(2-2\right)^{2}+\left(3-2\right)^{2}]=\frac{1}{2}$，
添加数字$3$后的方差$=\frac{1}{5}[(1-\frac{11}{5})^{2}+2\times (2-\frac{11}{5})^{2}+2\times (3-\frac{11}{5})^{2}]=\frac{14}{25}$，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：$B$.