（1）将$x=2$代入$y=x+1=3$，故其中交点的坐标为$\left(2,3\right)$，
将$\left(2,3\right)$代入反比例函数表达式并解得：$k=2\times 3=6$，
故反比例函数表达式为：$y=\frac{6}{x}$①；

$(2)$一次函数$y=x+1$的图象向下平移$2$个单位得到$y=x-1$②，
联立①②并解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
故交点坐标为$\left(-2,-3\right)$和$\left(3,2\right)$；

$(3)$设一次函数的表达式为：$y=kx+5$③，
联立①③并整理得：$kx^{2}+5x-6=0$，
$\because$两个函数没有公共点，故$\triangle =25+24k \lt 0$，解得：$k \lt -\frac{25}{24}$，
故可以取$k=-2(答案不唯一)$，
故一次函数表达式为：$y=-2x+5(答案不唯一)$。

（1）将$x=2$代入$y=x+1=3$，故其中交点的坐标为$\left(2,3\right)$，
将$\left(2,3\right)$代入反比例函数表达式并解得：$k=2\times 3=6$，
故反比例函数表达式为：$y=\frac{6}{x}$①；

$(2)$一次函数$y=x+1$的图象向下平移$2$个单位得到$y=x-1$②，
联立①②并解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
故交点坐标为$\left(-2,-3\right)$和$\left(3,2\right)$；

$(3)$设一次函数的表达式为：$y=kx+5$③，
联立①③并整理得：$kx^{2}+5x-6=0$，
$\because$两个函数没有公共点，故$\triangle =25+24k \lt 0$，解得：$k \lt -\frac{25}{24}$，
故可以取$k=-2(答案不唯一)$，
故一次函数表达式为：$y=-2x+5(答案不唯一)$。