在平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴交于点$A\left(0,4\right)$,与$x$轴交于点$B$,与正比例函数$y=x$的图象相交于点$C$,点$C$的横坐标为$3$.

$(1)$求一次函数$y=kx+b$的表达式；
$(2)$如图$2$,过点$C$作直线$CD//x$轴,$M$为射线$CD$上一动点,若$\triangle BCM$为以$BC$为腰的等腰三角形,直接写出点$M$的坐标；
$(3)$在（2）的条件下,平面内是否存在点$P\left(a,3\right)$,使$\triangle ABP$的面积等于$\triangle AOB$面积的一半?若存在,直接写出点$P$的坐标；若不存在,说明理由；
$(4)$如图$3$,$N$为线段$OB$上一点,连接$CN$,将$\triangle BCN$沿直线$CN$翻折得到$\triangle FCN($点$B$的对应点为点$F)$,$CF$交$x$轴于点$E$.当$\triangle FNE$是直角三角形时,请直接写出点$N$的横坐标.