如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=x-2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A\left(4,n\right)$,与$y$轴交于点$B$,点$P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上一动点,过点$P$作直线$PQ$∥$y$轴交直线$y=x-2$于点$Q$,设点$P$的横坐标为$t$,且$0 \lt t \lt 4$,连接$AP$、$BP$.

$(1)$求$k$的值；
$(2)$当$\triangle ABP$的面积为$8$时,求点$Q$的坐标；
$(3)$在（2）的条件下,过点$A$作$AE\bot y$轴于点$E$,设$PQ$的中点为$C$,在坐标轴上是否存在一点$D$,使得$\triangle AOE$和$\triangle BCD$相似,若存在,求出点$D$的坐标,若不存在,请说明理由.