A

根据图形可得：$a \lt -1$，$0 \lt b \lt 1$，
$\therefore |a| \gt |b|$，
$A$、$a+b \lt 0$，故$A$选项正确；
$B$、$a+b \gt 0$，故$B$选项错误；
$C$、$a-b \lt 0$，故$C$选项错误；
$D$、$a-b \lt 0$，故$D$选项错误.
故选：$A$.