C

$A$、$2x-1=4x+3$，是一元一次方程，不符合题意；
$B$、$2x^{2}+y-1=0$，方程中含有两个未知数，不符合题意；
$C$、$2x^{2}-1=3$，符合一元二次方程的定义，符合题意；
$D$、$ax^{2}+bx+c=0$，当$a=0$时，该方程中未知数的最高次数不是$2$，不符合题意；
故选：$C$.