$\because$关于$x$的方程$(m-2){x}^{{m}^{2}-2}+5x+3=0$是一元二次方程，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-2≠0}\\{{m}^{2}-2=2}\end{array}\right.$，
解得：$m=-2$，
$\therefore m$的值为$-2$.
故答案为：$-2$.

$\because$关于$x$的方程$(m-2){x}^{{m}^{2}-2}+5x+3=0$是一元二次方程，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-2≠0}\\{{m}^{2}-2=2}\end{array}\right.$，
解得：$m=-2$，
$\therefore m$的值为$-2$.
故答案为：$-2$.