如图过点$C$作$CH\bot AB$于$H$，延长$HC$交$\odot C$于${P\’}$.

$\because$直线$AB$的解析式为$y=\frac{4}{3}x-4$，

$\therefore A$点的坐标为$\left(3,0\right)$，$B$点的坐标为$\left(0,-4\right)$，

即$OA=3$，$OB=4$，由勾股定理得：$AB=5$，

过$C$作$CH\bot AB$于$H$，连接$AC$，

$\because S_{\triangle ACB}=S_{AOC}+S_{\triangle AOB}$：

$\therefore \frac{1}{2}\times AB\times CH=\frac{1}{2}\times OA\times OC+\frac{1}{2}\times OA\times OB$，

$\therefore 5\times CH=3\times 1+3\times 4$，

$\therefore CH=3$，

$\therefore$圆$C$上点到直线$y=\frac{4}{3}x-4$的最大距离是$1+3=4$，

$\therefore \triangle PAB$面积的最大值是$\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$，

故答案为：$10$.

如图过点$C$作$CH\bot AB$于$H$，延长$HC$交$\odot C$于${P\’}$.

$\because$直线$AB$的解析式为$y=\frac{4}{3}x-4$，

$\therefore A$点的坐标为$\left(3,0\right)$，$B$点的坐标为$\left(0,-4\right)$，

即$OA=3$，$OB=4$，由勾股定理得：$AB=5$，

过$C$作$CH\bot AB$于$H$，连接$AC$，

$\because S_{\triangle ACB}=S_{AOC}+S_{\triangle AOB}$：

$\therefore \frac{1}{2}\times AB\times CH=\frac{1}{2}\times OA\times OC+\frac{1}{2}\times OA\times OB$，

$\therefore 5\times CH=3\times 1+3\times 4$，

$\therefore CH=3$，

$\therefore$圆$C$上点到直线$y=\frac{4}{3}x-4$的最大距离是$1+3=4$，

$\therefore \triangle PAB$面积的最大值是$\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$，

故答案为：$10$.