对于平面直角坐标系$xOy$中的线段$MN$和点$P$,给出如下定义:点$A$是线段$MN$上一个动点,过点$A$作线段$MN$的垂线$l$,点$P$是垂线$l$上的另外一个动点.如果以点$P$为旋转中心,将垂线$l$沿逆时针方向旋转$60^{\circ}$后与线段$MN$有公共点,我们就称点$P$是线段$MN$的"关联点".

如图,$M\left(1,2\right)$,$N\left(4,2\right)$.

（1）在点$P_{1}\left(1,3\right)$,$P_{2}\left(4,0\right)$,$P_{3}\left(3,2\right)$中,线段$MN$的"关联点"有＿＿＿；

（2）如果点$P$在直线$y=x+1$上,且点$P$是线段$MN$的"关联点",求点$P$的横坐标$x$的取值范围；

（3）如果点$P$在以$O\left(1,-1\right)$为圆心,$r$为半径的$\odot O$上,且点$P$是线段$MN$的"关联点",直接写出$\odot O$半径$r$的取值范围.