$(1)$问题发现:如图①,$\triangle ABC$和$\triangle EDC$都是等边三角形,点$B$、$D$、$E$在同一条直线上,连接$AE$.试求$\angle AEC$的度数和线段$AE$、$BD$之间的数量关系.
$(2)$拓展探究:如图②,$\triangle ABC$和$\triangle EDC$都是等腰直角三角形、$\angle ACB=\angle DCE=90^{\circ}$,点$B$、$D$、$E$在同一条直线上,$CM$为$\triangle EDC$中$DE$边上的高,连接$AE$,试求$\angle AEB$的度数及判断线段$CM$、$AE$、$BM$之间的数量关系,并说明理由.