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八年级数学解答题一般
题目
(1)(1)问题发现:如图①,△ABC\triangle ABC和△EDC\triangle EDC都是等边三角形,点BB、DD、EE在同一条直线上,连接AEAE.试求∠AEC\angle AEC的度数和线段AEAE、BDBD之间的数量关系.
(2)(2)拓展探究:如图②,△ABC\triangle ABC和△EDC\triangle EDC都是等腰直角三角形、∠ACB=∠DCE=90∘\angle ACB=\angle DCE=90^{\circ},点BB、DD、EE在同一条直线上,CMCM为△EDC\triangle EDC中DEDE边上的高,连接AEAE,试求∠AEB\angle AEB的度数及判断线段CMCM、AEAE、BMBM之间的数量关系,并说明理由.
知识点：圆章节：第28章 圆 / 28.1 圆的概念及性质

答案与解析

答案

(1)∵△ABC\left(1\right)\because \triangle ABC和△EDC\triangle EDC都是等边三角形，
∴CE=CD\therefore CE=CD，CA=CBCA=CB，∠ECD=∠ACB=60∘\angle ECD=\angle ACB=60^{\circ}，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD\therefore \angle ECD-\angle ACD=\angle ACB-\angle ACD，即∠ECA=∠DCB\angle ECA=\angle DCB，
在△ECA\triangle ECA和△DCB\triangle DCB中，
{CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB\left\{\begin{array}{l}CE=CD\\∠ECA=∠DCB\\ CA=CB\end{array}\right.，
∴△ECA\therefore \triangle ECA≌△DCB(SAS)\triangle DCB\left(SAS\right)，
∴AE=BD\therefore AE=BD，∠AEC=∠BDC=180∘−60∘=120∘\angle AEC=\angle BDC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}；
(2)CM+AE=BM(2)CM+AE=BM，理由如下：
∵△DCE\because \triangle DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45∘\therefore \angle CDE=45^{\circ}，
∴∠CDB=135∘\therefore \angle CDB=135^{\circ}，
由（1）得△ECA\triangle ECA≌△DCB\triangle DCB，
∴∠CEA=∠CDB=135∘\therefore \angle CEA=\angle CDB=135^{\circ}，AE=BDAE=BD，
∵∠CEB=45∘\because \angle CEB=45^{\circ}，
∴∠AEB=∠CEA−∠CEB=90∘\therefore \angle AEB=\angle CEA-\angle CEB=90^{\circ}，
∵△DCE\because \triangle DCE都是等腰直角三角形，CMCM为△DCE\triangle DCE中DEDE边上的高，
∴CM=EM=MD\therefore CM=EM=MD，
∴CM+AE=BM\therefore CM+AE=BM.

解析

(1)∵△ABC\left(1\right)\because \triangle ABC和△EDC\triangle EDC都是等边三角形，
∴CE=CD\therefore CE=CD，CA=CBCA=CB，∠ECD=∠ACB=60∘\angle ECD=\angle ACB=60^{\circ}，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD\therefore \angle ECD-\angle ACD=\angle ACB-\angle ACD，即∠ECA=∠DCB\angle ECA=\angle DCB，
在△ECA\triangle ECA和△DCB\triangle DCB中，
{CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB\left\{\begin{array}{l}CE=CD\\∠ECA=∠DCB\\ CA=CB\end{array}\right.，
∴△ECA\therefore \triangle ECA≌△DCB(SAS)\triangle DCB\left(SAS\right)，
∴AE=BD\therefore AE=BD，∠AEC=∠BDC=180∘−60∘=120∘\angle AEC=\angle BDC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}；
(2)CM+AE=BM(2)CM+AE=BM，理由如下：
∵△DCE\because \triangle DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45∘\therefore \angle CDE=45^{\circ}，
∴∠CDB=135∘\therefore \angle CDB=135^{\circ}，
由（1）得△ECA\triangle ECA≌△DCB\triangle DCB，
∴∠CEA=∠CDB=135∘\therefore \angle CEA=\angle CDB=135^{\circ}，AE=BDAE=BD，
∵∠CEB=45∘\because \angle CEB=45^{\circ}，
∴∠AEB=∠CEA−∠CEB=90∘\therefore \angle AEB=\angle CEA-\angle CEB=90^{\circ}，
∵△DCE\because \triangle DCE都是等腰直角三角形，CMCM为△DCE\triangle DCE中DEDE边上的高，
∴CM=EM=MD\therefore CM=EM=MD，
∴CM+AE=BM\therefore CM+AE=BM.

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